Transformationen zwischen Koordinatensystemen

Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt durch Koordinatentransformation. Die unterschiedlichen zahlenwerte der n-Tupel beschreiben dieselbe Position im Raum. Beim Übergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung von Größen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.

Unterschiedliche Koordinatensysteme

Während sich in solchen Fällen die verwendung sphärischer Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) anBietet, erfolgt die Beschreibung von Punkten auf einer Ebene im Raum hingegen einfacher in kartesischen Koordinaten: zwei Koordinaten sind variabel, die dritte ist (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) durch den konstanten Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung festgelegt. genügt zur Festlegung einer Position auf der Erdoberfläche, wenn es auf die Höhe über Normalnull (genauer: Ortsabhängigkeit des Erdradius) nicht ankommt, die Angabe von lediglich zwei Koordinaten wie (Längengrad und Breitengrad), die dritte Koordinate ist durch den Erdradius festgelegt.Die Positionen desselben Punktes im Raum können in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. In den unterschiedlichen Darstellungen wird diese durch unterschiedliche Koordinaten repräsentiert. Bei Systemen, die eine Symmetrie aufweisen kann man durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen, dass einzelne Koordinaten konstant bleiben. Z.B.

Im Allgemeinen unterscheidet man zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen. Wenn außerdem Koordinatenlinien in jedem Punkt senkrecht aufeinander stehen, nennt man solche Koordinatensystemen orthogonal.

Beispiele:.

• geradlinige Koordinatensysteme:

Vektorraum

• • geradlinige orthogonale Koordinatensysteme:

Kartesisches Koordinatensystem

• krummlinige Koordinatensysteme:

Elliptische Koordinaten

• • krummlinige orthogonale Koordinatensysteme:

ebene Polarkoordinaten und Zylinderkoordinaten

räumliche und sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

Toruskoordinaten